Новости
Главная / Студентам / ААС / Лекция 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ

Лекция 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ

Информация в компьютере кодируется в двоичной или в двоично-десятичной системах счисления.

Система счисления – способ именования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел, системы счисления делятся:

  • на позиционные;
  • непозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р — 1.

Двоичная система счисления имеет основание Р = 2 и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1.

Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.

Практически перевод из двоичной системы в десятичную можно легко выполнить, надписав над каждым разрядом соответствующий ему вес и сложив затем произведения значений соответствующих цифр на их веса. Двоичное число 010000012 равно 6510. Действительно, 64*1 = 1*1 = 65

При переводе смешанного числа следует переводить его целую и дробную части отдельно.

  1. Для перевода целой части числа ее, а затем целые части получающихся частных от деления следует последовательно делить на основание Р до тех пор, пока очередная целая часть частного не окажется равной 0. Остатки от деления, записанные последовательно справа налево, образуют целую часть числа в системе счисления с основанием Р.
  2. Для перевода дробной части числа ее, а затем дробные части получающихся произведений следует последовательно умножать на основание Р до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной 0 или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой последовательно слева направо, образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием Р.

Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625. Переводим целую часть числа: 46/2 = 23 (остаток 0). 23/2 = 11 (остаток 1). 11/2 = 5 (остаток 1). 5/2 = 2 (остаток 1). 2/2 = 1 (остаток 0). 1/2 = 0 (остаток 1). Записываем остатки последовательно справа налево – 101110, то есть 4610=1011102. Переводим дробную часть числа: 0,625 • 2 = 1,250. 0,250 • 2 = 0,500. 0,500 • 2 = 1,000. Записываем целые части получающихся произведений после запятой последовательно слева направо – 0,101, то есть 0,62510 = 0,1012. Окончательно 46,62510= 101110,1012 .

5.1 Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

  1. естественная форма, или форма с фиксированной запятой (точкой);
  2. нормальная форма, или форма с плавающей запятой (точкой).

В форме представления с фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Например: в десятичной системе счисления имеется 5 разрядов в целой части числа (до запятой) и 5 разрядов в дробной части числа (после запятой); числа, записанные в такую разрядную сетку, имеют вид:

+00721,35500;  +00000,000328;  –10301,20260.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому чаще всего неприемлема при вычислениях. Диапазон значащих чисел N в системе счисления с основанием Р при наличии т разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учета знака числа) будет таким:

Например, при Р=2, m = 10 и s = 6 числа изменяются в диапазоне 0,015 < N< 1024.

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимые пределы, произойдет переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных компьютерах естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

В форме представления с плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая – порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок – целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

где:      М – мантисса числа (|М| < 1);
r – порядок числа (целое число);
Р – основание системы счисления.

Например, приведенные ранее числа в нормальной форме запишутся так:

Следует заметить, что все числа с плавающей запятой хранятся в машине в так называемом нормализованном виде. Нормализованным называют такое число, в старшем разряде мантиссы которого стоит единица. У нормализованных двоичных чисел, следовательно, 0,5 < |M| < 1.

5.2 Двоично-десятичная система счисления

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных компьютерах ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами и в таком виде записываются последовательно друг за другом.

В наиболее часто используемой естественной двоично-кодированной десятичной системе счисления веса двоичных разрядов внутри тетрады естественны, то есть 8, 4, 2, 1 (табл. 2).

Таблица 2 – Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр

Цифра Код Цифра Код
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 А 1010
3 0011 В 1011
4 0100 С 1100
5 0101 D 1101
6 0110 E 1110
7 0111 F 1111

Например, десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001011100000011.

5.3 Шестнадцатеричная система счисления

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост – он выполняется поразрядно (аналогично переводу из двоично-десятичной системы). Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются буквы: А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Например, шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так: 1111000101111011.

5.4 Выполнение арифметических операций в компьютере. Особенности выполнения операций над числами с плавающей запятой

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления аналогичны правилам выполнения операций в десятичной системе счисления. Например:

Следует кратко остановиться на выполнении операций над числами с плавающей запятой (точкой). При сложении (вычитании) чисел с одинаковыми порядками их мантиссы складываются (вычитаются), а результату присваивается порядок, общий для исходных чисел. Если порядки исходных чисел разные, то сначала эти порядки выравниваются (число с меньшим порядком приводится к числу с большим порядком), затем выполняется операция сложения (вычитания) мантисс. Если при выполнении операции сложения мантисс возникает переполнение, то сумма мантисс сдвигается вправо на один разряд, а порядок суммы увеличивается на 1.

При умножении чисел с плавающей запятой их мантиссы перемножаются, а порядки складываются. При делении чисел с плавающей запятой мантисса делимого делится на мантиссу делителя, а для получения порядка частного из порядка делимого вычитается порядок делителя.

При этом если мантисса делимого больше мантиссы делителя, то мантисса частного окажется больше 1 (происходит переполнение) и ее следует сдвинуть на один разряд вправо, одновременно увеличив на единицу порядок частного.

5.5 Особенности представления информации в ПК

Числовая информация внутри ПК кодируется в двоичной или в двоично-десятичной системах счисления; при вводе и выводе любой информации используются специальные коды представления информации – коды ASCII, эти же коды применяются для кодирования буквенной и символьной информации и внутри ПК.

Для удобства работы введены следующие термины для обозначения совокупностей двоичных разрядов (см. табл. 3). Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в компьютере.

Таблица 3 – Двоичные совокупности

Количество двоичных разрядов в группе Наименование единицы измерения
1 Бит
8 Байт
16 Параграф
8×1024 Кбайт (килобайт)
8×10242 Мбайт (мегабайт)
8×10243 Гбайт (гигабайт)
8×10244 Тбайт (терабайт)
8×10245 Пбайт (петабайт)