Суббота , Февраль 23 2019
Главная / Образование / Решение задачи 1.116 по физике из учебника для МФТИ

Решение задачи 1.116 по физике из учебника для МФТИ

02.12.2018 в

Дано:

Решение.
Данная система тел замкнута вдоль горизонтального направления, так как внешние силы действуют в перпендикулярном к горизонтальной поверхности направлении. Центр масс системы «шарик + тележка» будет покоиться вдоль горизонтального направления при любых перемещениях тел внутри системы, так как в начальный момент времени система покоилась.

Пусть нулевой уровень потенциальной энергии шарика в поле силы тяжести совпадает с положением его равновесия (с наинизшим положением).

h = L + Lcosβ = L(1 + cosβ) – высота шарика над нулевым уровнем при отклонении стержня от вертикали на угол β.
Wp1 = mgh = mgL(1 + cosβ) – потенциальная энергия шарика в начальном состоянии.

Пусть в нижней точке траектории шарик движется со скоростью υ1, тележка – со скоростью υ2. Оба вектора скорости направлены горизонтально:

– это кинетическая энергия системы тел в момент нахождения шарика в нижней точке.

Запишем для системы тел законы сохранения импульса и механической энергии:

Отсюда:

И получается, что

– это скорость тележки в указанный момент времени.

Затем шарик, продолжая двигаться по дуге окружности радиусом L, начнёт подниматься над нулевым уровнем. В момент максимального подъёма шарика его скорость и скорость тележки равны нулю. В силу закона сохранения энергии высота подъёма шарика над нулевым уровнем опять же будет равна h = L(1 + cosβ).

Таким образом, горизонтальное перемещение шарика относительно тележки за половину периода колебаний составляет Δхотн. = 2Lsinβ.

Введём координатную ось х, направленную вдоль горизонтальной поверхности. Начало координатной оси х выберем произвольно (принципиального значения выбор начала оси х не имеет).

Пусть х1 и х2 – горизонтальные координаты центра масс шарика и тележки в начальном состоянии.

– координата центра масс системы «шарик + тележка» в начальный момент.

При перемещении шарик участвует в двух движениях: относительно тележки (относительное перемещение) и вместе с тележкой относительно горизонтальной поверхности (переносное перемещение):  Δх = Δхотн.+ ΔSx, где Δхотн. – перемещение шарика относительно тележки, ΔSx – перемещение тележки относительно горизонтальной поверхности.

– координата центра масс системы «шарик + + тележка» через половину периода колебаний шарика.

Тогда:

Отсюда:

– это горизонтальные перемещения тележки и шарика противоположны по направлению.

– это амплитуда колебаний тележки.

Максимальное значение амплитуда колебаний тележки примет при условии, что

(при этом стержень в начальном положении занимает горизонтальное положение).